2. Bits, Data Types, and Operations

Computer Concept & Practice(컴퓨터 개념 및 실습)

컴퓨터에 대해서 배우기전에 개론의 역할을 하는 "Computer Concept & Practice(컴퓨터 개념 및 실습)" 수업.
컴퓨터를 처음 접하는 학생들을 대상으로 컴퓨터에 대한 일반적인 기초개념 등을 설명하고, 프로그램이 수행되는 과정과 프로그램 작성을 위한 논리적인 사고에 대하여 강의한다.

오늘 강의에서는 컴퓨터가 정보를 표현하는 방법에 대한 주요개념을 알아보자.

컴퓨터안에서는 모든 정보가 0,1로 표시된다. (binary로)
이걸 이용해 컴퓨터가 어떻게 다양한 data를 표현하는가에 대해서 알아보도록 하겠다.

Computer is a "binary" "digital" system.

Digital system: 표현하는 symbol(정보)이 finite(유한)한 갯수가 있는 system
Binary(base two) system: 표현하는 symbol이 0과 1 만 있는 system
컴퓨터는 binary digital system이므로,
0과1로 유한한 양의 정보를 표현해내는 시스템이라고 생각해도 될 것 같다.
실제 컴퓨터안에서는 대부분 voltage(전압)으로 0과1을 표현하게 된다.

예를 들면, 위의 그림 처럼 0~0.5 volt 사이를 "0"으로 표현하고, 2.4~2.9 volt 사이를 "1"로 표현한다.
(실제 정확한 volt는 다 다르겠지만, 0과 1의 표현 사이에 illegal한 공간(빈공간)을 두어서 안정성을 확보하는 구조를 가지고 있다.)
컴퓨터에서 정보를 표현하는 기본 유닛은 binary digit 또는 bit 라고 한다.
1bit로는 0과 1을 표현 할 수 있지만, 그 이상을 표현 하고 싶다면 더 많은 bit가 필요할 것이다.
ex) 2개의 bit로는 4개의 상태를 표현할 수 있다.
00, 01, 10, 11
ex2) 3개의 bit로는 8개의 상태를 표현할 수 있다.
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
2개의 bit로는 2의 2승인 4개
3개의 bit로는 2의 3승인 8개의 상태를 표현 할 수 있다.
한 마디로 'n'개의 bit가 표현 할 수 있는 상태는 '2의 n승'개이다.

그럼 이것들을 통해 우리는 어떤 종류의 data를 다룰 수 있을까?

크게는 instruction과 data로 나눌 수 있다.
instruction - 실제 컴퓨터에서 작업이 일어나는 유닛, 이 instruction 다양한 data를 처리한다.
data의 종류
Numbers- integers(정수), floating point(부동소수점).
[complex복소수, rational유리수, irrational무리수 등등도 표현 가능하지만, 그것은 위의 2가지 built in data내장데이터(integers, floationg point)를 이용하여 표현하는 부수적인 것들이다.]
Logical - ture, false
Text - characters, strings, ...
Images - pixels, colors, shapes, ...
Sound
등등
(회색으로 처리 된 것들은, built in data를 이용하여 표현하는 data들이다.)

Unsigned Integers

그럼 이제 이런 data들을 어떻게 표현하는지 알아보자.

우선 Unsigned Integers(음의 정수를 제외한, 양의 정수)를 표현해보자.
우리가 앞의 turing machine에서 봤던 Non-positional notation으로 표현하는 경우
ex) "5" -> "11111"
"3" -> "111"
하지만 이런 단순한 나열인 non-positional notation으로 큰 수를 표현하려면, 엄청나게 많은 수의 1이 필요하게 된다.
그래서 이 문제점을 해결하고자 아래그림처럼,
위치한 자리로 숫자의 크기를 표현하는 표기법인 weighted positional notation을 사용한다.

weighted positional notation의 하나인 십진법과 이진법

이렇게 position에 따라 숫자가 다르게 해석되는 표기법을 weighted positional notation이라고 한다.
그럼 계속해서 Unsigned Integers를 bit로 표현 한다면 2의 n 승 만큼의 값을 표현할 수 있을 것이다.
(아래 그림처럼, '0'부터 '2의 n승 - 1' 까지!)
또한 다음과 같이 더하기도 가능할 것이다.
10010 + 1001 = 11011
10111 + 111 = ? 의 값도 한번 구해보자!

3개의 bit로는 '0'부터 '2의 3승 - 1' 까지 즉, '0' 부터 '7'까지 8개의 표현이 가능하다. 또한 2번째 그림과 같이 더하기도 가능하다.

Signed Intergers

그렇다면 이제 음수도 표현해보자!

이렇게 음수까지 고려한 integer data type을 Signed Intergers라고 한다.
컴퓨터에서는 음수를 표현하기 위해 표현 가능한 값을 나눈다.
한마디로, n bits의 경우에는 2의 n승 만큼의 표현이 가능할테니,
절반정도를 배정해서 양의 정수 '1' 부터 '2의 (n-1)승' 만큼 표현하고,
다른 절반정도로 음의 정수 '-2의 (n-1)승' 부터 '-1' 까지 표현한다.
그리고 남겨둔 2개의 표현 값을, 1개는 '0'에 배정하고, 1개의 extra를 가진다.
(*extra에 대한 궁금증은 밑에서 해결된다)
하지만 여기서 0이라는 unique한 표현 때문에 또 문제가 생긴다.
바로 +-를 표현하면서 0을 표현하다보니 '-0이 0'이라는 사실을 표현하는데 문제가 생긴 것이다.
*사람 입장에서야 '-0이면 0이지'라고 생각하면 될 문제이나, 정확한 계산과 대응값이 필요한 컴퓨터 입장에서는 -0도, +0도 0이라고 표현하는 것에 오류가 생기는 것이다.
(*그냥 +0과 -0으로 표현하면 되는거 아니냐? 라고 생각할 수 있는데, 컴퓨터 입장에서는 무조건 (+n) + (-n) = 0 이라고 나와야하는데 이때 이 값을 -0으로 표현할지, +0으로 표현할지도 문제이며, 만약 (+0) + (-0) = ? 을 해버리면 표현할 수 있는 값이 없게 된다.)

그래서 여러가지 방법을 시도해본다.
sign-magnitude 방식, 제일 앞의 단위(most significant,MS)로 +-를 표현해보기도 하고,(0인 경우 +, 1인 경우 -)
ex) 00101= 5, 10101= -5
one's complement 방식, -를 표현 할 때 값을 전부 뒤집기도 한다.
ex) 00101 = 5, 11010= -5
(두 방법 다, 결국 MS의 값이 '0 이면 +', '1 이면 -' 이긴 하다.)
하지만 두 방법 모두 0을 unique하게 표현하진 못한다.
ex) sign-magnitude -> 10000, 00000 둘 다 0이 되어버림.
one's complement -> 11111, 00000 둘 다 0이 되어버림.
*이 때문에 위에서 extra가 1개 남아 버린 것이기도 하다. 0을 1개로 표현하고 싶은데 위의 예시처럼 자꾸 2가지가 나오기 때문에. 그렇다고 둘 다 0으로 주면 문제가 생긴다!

Two's Complement. (2's C)

그래서 이를 해결하고자 Two's Complement 방식이 나온다.
이전처럼 단순히 MS의 값으로 +-를 표현하거나,
값을 전부 뒤집어 버리거나 하는 식으로 음수를 표현하는 것이 아니라,
해당 양수에 더했을 때, 00000의 값이 나오는 수를 음수로 채택한 것이다.
(이때 MS값은 여전히 계산에 쓰이지 않으며, 여기서 또한 음수 양수를 구분할 수 있는 값이 되기도 한다.)
여기서 binary로 표현했을 때 넘치는 값은 무시해버린다.
ex) 00101 + 11011 을 실제로 binary로 계산하면 100000이 나오나, 컴퓨터 내에서 bit로 표현 가능한 자릿수를 넘겼기 때문에 제일 앞의 1을 무시해버리고, 00000 으로 계산한다.
*한 마디로 bit로 표현가능한 자릿수를 넘는 1은 논외로 치고, 모든 자리가 0이 나오게 하는 더하기 값을 음수로 본다!

두번째 식의 -9자리에는 무엇이 들어가야할까? 오른쪽 그림을 보면, two's complement의 음수를 만드는 식은 생각보다 싶다!

위의 그림을 참고하면 조금 더 쉽게 이해가 갈 것이다.
그리고 뭔가 눈으로 보기에는 two's complement의 음수를 만드는 방식이 엄청 복잡해보이지만,
막상 음수 값을 얻기 위한 방법은 생각보다 간단하다. one's complement 처럼 전부 뒤집고, 1을 더하면 된다!
(위의 그림 중 2번째 그림 참고)
이렇게 '0'의 unique한 표현의 문제를 해결한 two's complement는
extra까지 활용하여 n bit의 경우, "-2의 (n-1)승" 부터 "2의 (n-1)승 -1" 까지 표현 가능하다.

4개의 bit로 two's complement로 이용해 표현한 값들

위의 그림처럼, 4개의 bit를 가진 경우 -8 부터 7까지 표현이 가능해졌으며, '0'에 대해서도 1개의 값만 나올 수 있다.
이제 이 2's C (two's complement)를 우리가 흔히 사용하는 decimal(십진수)로 표현할 수 도 있다.
양수의 경우는 단순한 binary의 계산과 같지만,
음수의 경우에는 먼저 2's C의 법칙으로 양수로 만들어줘서 계산후, 마지막에 -를 붙인다.
그 과정은 아래그림과 같다.

2's C의 10진수로의 변환. 양수의 경우와, 음수의 경우.

이렇게 단순히 숫자를 컴퓨터로 표현하는 것 이외에도 컴퓨터는 다양한 기능을 할 수 있다.
이제 Addition(더하기), Subtraction(빼기), Sign Extension('곧 배울 내용입니다.) 같은 것 부터,
논리적인 부분인 AND, OR, NOT 까지 다양한 기능들에 대해서 알아보자.
우선 Addition과 Subtraction 같은 경우는 위에서도 충분히 이야기 했으므로, 예시들만 보고 넘어 가도록 하겠다.

2's C의 덧셈과 뺼셈의 예시들 빈칸을 채워보자.

Sign Extension

우리가 "4-bit로 표현된 숫자가 있는데, 8-bit로 표현하고 싶다."라고 할 때,
이 4-bit의 표현을 8-bit로 바꿔주는 것을 Sign Extension이라고 한다.
한 마디로, 작은 bit로 표현된 값을 큰 bit 표현으로 바꿔주는 것을 의미한다.

이때 양수의 경우는 그냥 0을 채워주면 되나,
음수의 경우에는 0을 채울 시 다른 숫자가 나와버린다.
하지만 신기하게도 우리는 2's C를 이용하여 n에 add 할 시, 0이 나오는 값을 -n으로 설정했기 때문에,
그냥 음수인 경우에는 1을 채워주면 된다. (위의 그림 참조)
한마디로, 양수의 경우에는 0, 음수의 경우에는 1 을 채워주면 된다.
(이 채워주는 값을 sign bit라고 한다.)

Overflow

반면 덧셈의 값이 너무 크거나 너무 작아서 내가 가진 bit 수로는 표현불가한 경우가 있다.
바로 이런 경우를 Overflow라고 한다.

바로 1번째와 2번째 식의 경우처럼 결과 값에 에러가 나버린다.
그렇다면 우리는 어떤 계산이 overflow가 났다는 사실만이라도 알아야 하는데,
이런 경우에는 MS값(제일 앞자리 값)을 이용할 수 있다.
1번째 식의 경우처럼 MS값에 +를 의미하는 0을 가진 2개의 식을 계산하는데,
결과값의 MS값이 -를 의미하는 0이 나오거나.
2번째 식의 경우처럼 MS값에 -를 의미하는 1을 가진 2개의 식을 계산하는데,
결과값의 MS값이 +를 의미하는 1이 나오거나 하는 경우.
overflow가 났다는 사실을 알 수 있다.
즉, 계산에서 MS값이 같다면 결과값의 MS값도 같아야 하며,
같지 않다면 overflow가 나서 틀린 계산을 한 것이다.
(정상적인 addition과 subtraction의 예시인 3번째, 4번째 식의 경우에는 위와 같은 현상이 발생할 수 없다.)

Logical Operations

이제 살펴볼 것은 Logical Operations(논리 연산)이다.
logical operations에서 1= True, 0= False 를 의미하며,
이를 이용하여 다양한 논리 표현을 할 수 있다.

간단하게 2bit로 표현해본 and, or, not

and, or, not의 계산 예시

AND의 경우는,
A와 B가 True라는 뜻이므로,
A와 B가 둘 다 True에 해당하는 1이여야 한다.
둘중 하나라도 0이면 False가 된다.
그래서,
AND는 연산에서 해당 자리에 1개라도 0이면 0의 값이 나온다.(위의 그림 참조)

OR의 경우는,
A 또는 B가 True라는 뜻이므로,
A 나 B 중 1개가 True에 해당하는 1이면 된다.
둘중 하나라도 1이면 True가 된다.
그래서,
OR은 연산에서 해당 자리에 1개라도 1이면 1의 값이 나온다.(위의 그림 참조)

NOT의 경우는,
True는 False로, False는 True로 라는 뜻이므로,
그냥 True에 해당하는 1의 값을 False에 해당하는 0으로, 반대의 경우에도 마찬가지로 하면 된다.
그래서,
NOT은 1은 0으로, 0은 1로 바꿔준 값이 나온다.(위의 그림 참조)

Hexadecimal Notation

그리고 binary notation을 조금 더 간단하게 표현하기 위해 Hexadecimal Notation16진법을 사용하기도 한다.
이 경우 16이 2의 4승이므로, 4bit에 해당한다.
고로 4개의 bit를 하나로 묶어서 Hexadecimal의 digital 표현을 하는 것이다.

hexadecimal의 digital 표현비교

여기서 hexadecimal의 특이한 점은 9 이후 부터는 A,B,C,D,E,F를 표현한다는 것이다.
그래서 binary를 hexadecimal로 표현한 예시를 보자면 아래의 그림과 같다.

binary의 hexadecimal 표현의 예

Fractions(분수)의 표현과 Floating-Point

이제 Computer의 표현에 대해선 어느정도 갈무리가 된 것 같지만,
아직 한가지 문제가 남았다. 그것은 바로 Fractions분수에 대한 문제이다.
숫자가 큰 것도 문제이지만, 작은 것도 계산을 할 때 bit를 많이 잡아먹게 된다.

binary로 분수를 표현할때도 숫자가 작아질수록 한없이 많은 bit가 필요하게 된다.

그래서 이런 분수에 대한 표현에 대한 방법으로,
전기전자분야에서 공인된 학회인 IEEE에서 이런 분수를 표현하는 Floating-Point의 스탠다드한 기준을 정해놓았다.
32-bit의 기준으로 Floating-point에 대해 알아보자.

IEEE의 32-bit 기준과 예시.

위에서 알 수 있듯이 Sign, Exponent, Fraction을 각각 1-bit, 8-bit, 23-bit로 32-bit를 나누었다.
여기서 주의 할 것은 '1 ≤ exponent ≤ 254'의 경우와 같이 대부분의 경우에는 일반적인 공식을 따르지만,(그림 참조)
exponent값이 0인 경우에는 특수한 공식(더 작은 수를 표현하기위하여)을 사용하고,
exponent값이 255인 경우에는 아예 다른 값(positive/negative, infinity 등등)을 표현한다.
*갑자기 복잡해보이지만, 천천히 살펴보면 별거없다!
위의 그림 중, 오른쪽 그림을 보며 천천히 살펴보자.
sign 구역은 이전의 경우와 같이 +-를 결정할 뿐이다.
exponent 구역은 그냥 2의 몇승인지를 결정할 뿐이다.
fraction 구역은 0.몇 이라는 소수점이하 부분을 결정할 뿐이다.
숫자가 괴랄해서 그렇지 막상 하나하나 대입해보면 어렵지 않은 계산이다.
그렇다면 이런 Floating-Point로 표현된 분수Fractions도 그냥 2's C의 addition, subtraction 처럼 그냥 계산하면 될까?
아니다. 일련의 과정이 필요하다!
이에 대해선, 논리회로 과목에서 배우도록 하자!

Text: ASCII Characters

자 이제 컴퓨터가 instruction, numbers, logical 등을 어떻게 다루는지 알아보았다.
이번에는 Text의 표현에 대하여 알아보자.위의 floating-point의 경우에 standard한 표준이 있었던 것처럼, ASCII 기준이 있다.
ASCII는 7-bit를 이용하여, 128개의 character를 표현한다.

ASCII 기준 표현

우리가 위에서 잠깐 알아보았던, hexadecimal을 이용하면 위의 표를 쉽게 알아볼 수 있을 것이다.
(꼭 character뿐 아니라, 그 표현을 위한 다양한 기능들도 볼 수 있다.
ex: sp=스페이스바, nl =new line 화면상에서 다음 라인으로 넘어간다 등등)
위의 표에서 보이듯이,
숫자의 경우, 원래숫자에 +30을 하면 표현할 수 있고,
영어 소문자의 경우, 대문자에서 +20을 하면 표현 할 수 있다.

그렇다면 이 128개의 표현으로 충분할까?

아니다. 영문만 쓴다면 그렇겠지만, 세계에는 다양한 언어가 있기 때문에 128개의 표현으로는 부족하다.
그래서 각 나라별 언어를 모두 표기하기 위한 코드체계인 Unicode에서 16bit (2의 16승 만큼의 표현 간으)로,
다양한 언어를 표현하며, 그중에 한글은 꽤 많은 11,172개의 표현을 차지하고 있다.

Other Data Types

이외의 data type으로는 다음과 같은 것들이 있다.(아래그림 참조)
아직은 자세히 파고들 내용은 아니니,
컴퓨터가 해당 type을 대략 어떻게 표현하는지 정도만 알아두면 좋을 것 같다!

other data types

오늘의 중요한 개념

- data는 computer안에서 단순히 0과 1의 pattern이다.
- Program Counter(다음에 실행할 명령어의 주소를 기억하고 있는 것, 간략히는 다음에 실행 될 명령어에 대한 포인터)
가 instructions을 가르키면 instructions으로 해석이되며,
이 instructions은 다른 memory의 data를 참조하는데,
이 때 instructions이 integers로 간주하면 integers로 해석이되고,
floating point로 해석하면 floating point로 해석이 되는 식이다.
-기본적으로 instruction에서 처리하는 data type은,
integers, bit vectors, floating point numbers, characters 정도가 있다.
-나머지 data type(strings, images, sounds, etc..)은 하드웨어에서 지원해주는 data type의 조합으로 표현을 하거나,
입출력 장치의 도움으로 표현을 한다.
ex) 게임을 돌리기 위해 그래픽카드를 갖추거나, 더 높은 음질을 위해 dac를 이용하는 것 등.

*나의 생각

간단히는 단순히 0과 1 밖에 표현하지 못하는 bit라는 단위로 어떻게 다양한 숫자를 표현할 수 있는지, 그리고 instruction에 따라 효율적으로 음수 양수부터, 분수까지 표현하기 위해 어떠한 과정을 거치는지에 대해서 알 수 있는 장이였다.
또한 숫자를 넘어 ASCII코드 까지, 우리에게 당연한 컴퓨터의 문자나 소리 등이 어떤 방식을 이용하는지 알 수 있었다.
현재는 마냥 어려워보이지만 이후 코딩에 있어서 조금 더 기계친화적인 언어를 사용할 때 해당 방식들에 대한 사고방식이 도움이 될 것 같다.

+오늘의 영단어

manipulate 조종하다, 다루다
integer 정수
floating point 부동소수점
character 부호
finite 유한한, 한정된
voltage 전압
notation 표기법
decimal 십진법의
worth ~의 가치가 있는
propagate 전파하다, 선전하다
distinct 뚜렷한, 분명한, 별개의
assign 배치하다, 맡기다, 배정하다
complement 보완하다, 덧붙이다
flip 뒤집다, 젖히다
represent 대표하다, 대신하다, 해당하다
indicate 나타내다, 내비치다
arithmetic 산수, 연산, 계산
circuit 순환, 회로, 순회
corresponding ~에 해당하는, 상응하는
remainder 나머지, (뺄셈 나눗셈등의) 나머지
division 분할, 분배, 나눗셈
magnitude (엄청난)규모[중요도], 광도, 지진규모
subtracting 뺄셈
multiplication 곱셈
operand 피연산함수
properties 성질, 특징
amuse 즐겁게하다, 즐거운 시간을 갖게 해주다